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高等数学中通量、散度、环流量、旋度有哪些形

  这个问题困扰了我很久,我看同济的高等数学教材,这一段内容看的是云里雾里,复习考研看复习全书,里面也是来了题目就上公式,没有看到逻辑演绎的过程,学习的非常痛苦,绝望之下,看了国外的数学教程和公开课,总算在脑袋中有了直观的数学直觉,希望能给题主一些帮助。

  (另外,我还是多说几句,考研都推荐李永乐的复习全书,博马娱乐我觉得是人云亦云,李永乐的书确实非常适合考研复习,但是前提是你必须有扎实的基础,否则你会觉得密密麻麻的定义定理让人想放弃,没有思辨,没有演绎,还有不推荐数学基础不好的同学考研看同济的数学,这些书虽然严谨,但是总是为了证明一个问题而去证明一个问题,从而让人觉得非常晦涩,所以强烈推荐时间充足的同学先读国外优秀的数学书籍,从一个问题的起源出发,为什么人类要提出这个问题,这个问题是为了描述和解决什么,一步一步逻辑上的推进最后给出最后的结论,让人感受到数学根本就不是一件特别让人头疼的事情,反而是一种思维上的享受)。

  曲线的散度和通量----曲面的散度和通量----曲线的旋度和环量----曲面的旋度和环量

  哦有件重要的事情忘了说,通量在国内的书上一般称为 第二类面积分(我特别想吐槽这个称呼),我建议大家不要记什么第一类第二类这种完全意义不明的东西,当然因人而异。

  首先一个大的思维前提,通量是和散度联系在一起的,环量(也就是题主说的环流量)是和旋度联系在一起的。

  我们先说说曲线通量和散度。我们假设有一个向量场F,他大概如下图所示一样:

  可以看到这些向量有长有短(大小不同),并且方向也五花八门,现在在这个向量场中,出现了一条曲线L:

  好,那么题主你想想看,这些向量,既有大小,又有方向,那么他们是不是有移动的趋势

  呢?既然移动,就肯定会通过这条曲线L,那么有的朝着外面通过,有的朝着里面通过,那么就会相互抵消,于是我们就运用微积分的思想,整理出了如下的通量公式:

  我们把这一段曲线分成无数小段,近似于一小段直线,那么这一小段长度为ds,n是这一小段直线的单位法向量,方向根据其顺时针运动还是逆时针运动有关,那么每一小段上向量F在法向量上的分量(F·n)

  乘以这一小段的距离ds,然后加起来就是这一小段曲线的通量。到这里,题主脑海中应该形成一个数学直觉就是,通量,就是通过的量!

  那么通量这个东西为什么说和散度联系在一起呢?回顾怎么求一点的散度:设二维平面上一点处的向量F=P(x,y)i

  但是凭什么说向量沿x轴和y轴的分量的偏导数就是散度?想象一下:当一点处向量分量沿各自方向的偏导数的和为正时,说明这一点处的向量,非常讨厌这一点,想要迫切的离开这一点,正数越大离开的想法越强烈;当为负时,说明这一点的向量很喜欢这一点,他虽然不愿意离开,但是奈何人家要赶他走,于是他走的脚步很慢,负数越大留下的愿望越强烈;当为0时,这一点的向量对这一点没有任何感觉,你要我走,那我就走咯,不紧不慢的保持着原有的样子。

  所以散度,在脑海中可以形成的直觉就是,这一点的向量离开这一点的愿望的强烈程度。

  我们在脑海思考这样一个场景:一个封闭的城市爆发了丧尸病毒(封闭曲线),城市中所有的人都用各种方式逃离这个城市(不得不离开自己的家园),有的人早就厌烦这个破地方,跑的飞快(散度为正),有的人热爱自己的家园,舍不得离开(散度为负),人心险恶,逃跑方向相反的人相遇时,会互相残杀争夺资源(不同点的散度会相互抵消),最后总有一部分人会成功的通过这个城市的边界(通量)

  这个例子虽然不太恰当,但是我想应该该能帮助大家建立散度和通量联系的直观直觉,内部你们怎么争夺是极其复杂的,我不管,我只用看看最后有多少人通过边界就行了。散度和通量的联系是否就是应该这么直观呢?

  当然这里我们要用数学的语言来描述散度和通量的关系,大家还记得可恶的高斯公式吧,不过那是描述三维曲面的,在二维平面上,一个封闭曲线的高斯公式长这样(之前笔误把Pdy写成Pdx了,重新更正了一下):

  很奇怪对吗,虽然考研并不考二维平面的高斯公式,但是我就是对这个结果纯粹的好奇,最后成功推导出这个结果,就像多年的老便秘释放的感觉,非常爽。

  那么式子左边就是这个平面各个点散度的积分,根据我们之前建立的联系,他应该等于这条曲线的通量的积分,关键的问题来了,我们怎么求这条曲线的通量?也就是说,式子右边我是怎么写出来的?

  这条直线用向量如何表示呢?显然沿着x方向的微分分量为dx,沿着y方向的微分分量为dy,所以这一小段直线可以表示为dxi+

  我们知道通量是这一点的向量在其法向量的分量乘以这一段的距离,那么这一段的法向量是什么呢,确实是个难题,但是如果你还记得向量的叉乘就有知道如何解决这个难题了:

  看见那个z轴的单位向量k了吗?它是垂直于dxi+dyj的!那么我们还记得叉乘会得到一个垂直于两个向量的新向量,这个新向量不就是我们要的法向量吗?!

  ds,因为n只是个单位法向量,而我们得到这个是单位法向量乘以长度后的向量(还不明白的话可以给我私信或者评论)。

  好了,困扰人的二维高斯公式被我们KO。(百度上看到有好多人不懂高斯公式是如何退化到二维平面上的,所以顺便帮大家解决掉这个问题,希望那些在百度中没解决问题的朋友也能搜到我这儿)。

  另外,千万不要晕圈,看到有朋友把这个高斯公式的二维退化看成了格林公式,千万不要搞混,格林公式解释的是二维平面上旋度和环量的关系,而这个二维高斯公式是解释通量和散度的关系,务必不要搞混,仔细多看一下我的推导过程^_^。

  明天将讲解曲面通量和散度,以及考研常考的高斯公式,如果你曾经被这个高斯公式虐过,一定不要错过我明天的讲解哟。

  昨天已经把曲线的通量和散度解决掉了,今天我们把将其推广到三维曲面上,来看看三维曲面上通量和散度的联系。请看如下曲面:

  假设曲面上任意一点坐标为(x,y,z),那么这一点处的向量为F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,我们如何求这些向量通过这个曲面的量呢?还是按照微积分的老路子,先微分了再说:

  怎么求,也不知道面积ds是多少,不过我们之前在二维平面上是怎么获得法向量的还记得吗?叉乘!这个家伙在这儿能帮上我们忙吗?能!

  这张图有同学表示看的不太明白,没有搞清楚那里那两个偏导数的作用,这里解释一下,因为在三维空间中,z的取值是由x和y共同决定的,所以当由A点到C点时,x增加dx,y没有增加,但是x增加引起z增加,所以z方向上增加了dx乘以z关于x的偏导数;A到D同理。

  我们假设曲面由z=z(x,y)表示,那么我们从一个微分后的平行四边形上可以挖掘出这三个向量,那么我们怎么才能求垂直于这个平行四边形的法向量呢?根据叉乘定义我们可以知道,用AC向量 叉乘 AD向量,会得到一个垂直于平行四边形且大小为平行四边形面积的向量(为什么?请百度一下叉乘的定义,虽然我也会证明但是就不展开了)!这不是就是n

  大功告成了吗?还差一点点,之前我们用AC 叉乘 AD得到一个nds,但是如果我们用AD 叉乘 AC同样也会得到一个nds,当然这两者的大小相同,方向相反,所以根据方向不同,有正负之分,所以加个正负号就完美了,这就是完成品:

  旋度一直是考研数学一中很招人厌的东西,莫名其妙的定义,又长又臭的形式,总是被大家当作偏僻考点,然而2016年数学一确出了一个旋度的考题,很多人骂出题人故意出偏僻的考点,但是实际上,那道题是一道极其简单的送分题,但是由于许多人没有理解旋度,也懒得背公式,自然是得不到分了。

  这里我请大家放心,旋度只要一旦理解了是什么东西,那个又臭又长的式子根本用不着背,你可以直接很轻松的写出来。

  在正式开始讲旋度之前,我必须请大家先移步我另一个关于格林公式理解的答案,因为我接下去关于旋度的理解,是以我对格林公式的理解为基础而推导出来的。

  好,在理解了格林公式的形式之后,我们进一步的提出一个问题:你们有没有发现,格林公式描述的其实是一个旋转?

  你看,格林公式要求的是封闭区域,求这个封闭区域上沿着边缘一圈的向量做功,更抽象地说,就是沿着一圈的环流量。无论你之前想过没有,但是现在你必须想到,格林公式描述的,确确实实是旋转而产生的环流量。(有些同学不理解做功为什么是流量,实际上流量一个抽象的概念,意在描述“一个向量沿某方向运动”,有时候我们为了便于理解,就把这个向量想成力,那么就会把“流量”这个抽象的概念变成具体的做功,但是运动的向量可不仅仅只能是力,还可能是其他的东西,所以在这里我们用更抽象的流量来帮助大家建立统一的认识

  另外,高等数学是其他许多复杂数学分支的基础,高等数学的基础打得越牢,其他更复杂的数学才有扎实的保障,所以如果你正在学习诸如数学分析等这样的课程但是学的十分难受,有可能是高等数学的基础就没有打牢固,没有学会如何分析一个问题的方法和思维。

  另外希望大家对于公式,千万不要机械记忆,死记硬背,你看看咱们这么推导公式,是不是深深地感受到数学的逻辑优美,直接背公式只会让你很讨厌数学的。